Wir haben im letzten Video das Prinzip einer differenzierbaren Manigfaltigkeit eingeführt

und auch schon verstanden, wann wir eine Funktion, die auf Mengen dieser Manigfaltigkeit definiert

ist und in einem Vektorraum r auf m abbildet, differenzierbar genannt wird. Als Spezialfall

haben wir dann noch glatte Manigfaltigkeiten und glatte Funktionen eingeführt. Das waren Funktionen

und Manigfaltigkeiten, deren Kartenwechsel c unendlich, also unendlich oft differenzierbar

waren. Und wir haben zum Schluss ein Resultat gesehen, das uns sagte, dass wenn wir zwei

verschiedene Karten auf der Manigfaltigkeit haben, dann ist es unabhängig von der Karte,

ob eine Funktion, die auf diesen Mengen definiert ist, differenzierbar ist oder nicht. Das heißt,

wir hatten die Kartenunabhängigkeit des Differenzierbarkeitsbegriffs. In diesem

Video werden wir uns jetzt dennoch weiter mit Differenzierbarkeit beschäftigen müssen,

denn es stellt sich heraus, dass zwar die Frage nach der Differenzierbarkeit einer Funktion

kartenunabhängig ist, jedoch der Wert der Ableitung, wenn ich also eine Funktion verknüpfe mit der

Umkehrabbildung eines Homomorphismus, dann ist der Wert dieser Ableitung dennoch abhängig von der

konkreten Wahl des Homomorphismus. Und um das zu verstehen, hier vielleicht ein kleines Schaubild.

Wir stellen uns vor, wir hätten hier eine Manigfaltigkeit. Ich mal hier wieder einfach

irgendeine Menge hin und wir interessieren uns hier für eine offene Menge, die wir vielleicht

unennen, die eine Teilmenge ist der Manigfaltigkeit als Spezialfall eines topologischen Raumes. Und ich

betrachte jetzt zwei verschiedene Karten. Das heißt, ich habe eine Karte, die in den Rn bildet,

mit einem Homomorphismus, den nennen wir Phi. Der bildet diese Menge auf so ein Gebilde ab.

Wichtig ist, dass es hier eine Bi-Aktion ist, die stetig ist und deren Umkehrbildung auch stetig ist.

Das heißt, ich könnte mir vorstellen, es gibt hier so eine Abbildung durch Phi. Das ist unser

lokaler Homomorphismus. Und dann habe ich eine alternative Karte, die bildet ab von mir aus auf

die Menge U, die jetzt eine vollkommen andere Gestalt hat, innerhalb des Rn und diese Karte,

bzw. Homomorphismus, wollen wir Phi nennen. Und dann ist irgendwie klar, wenn ich mir jetzt

einen Punkt anschaue, innerhalb dieser offenen Menge, den ich P nenne, und eine Funktion,

die jetzt auf diesem Punkt definiert ist und ich möchte in irgendeine dieser Richtung gehen und ich

frage mich, wie ändert sich der Wert der Funktion, wenn ich zum Beispiel in diese Richtung gehe oder

in diese Richtung, dann stelle ich natürlich fest, dass das im Rn je nach Wahl der Karte einen

anderen Wert annimmt, diese Ableitung, da ja die zugrundeliegende Menge auch anders abgebildet

wird. Das heißt, wir bekommen einen unterschiedlichen Wert der Ableitung und das ist etwas, was wir nicht

besonders gut finden als Mathematiker, denn sobald wir eine Abhängigkeit von einer Wahl haben, dann

ist das zugrundeliegende Konzept uns nicht universell genug, denn dann müsste man sozusagen jedes Mal,

wenn man Mathematik betreibt, sich genau überlegen, wie wähle ich denn meine Karte und das heißt,

wir müssen den Begriff der Differenzierbarkeit noch ein bisschen weiter aufbohren und es gibt

zum Glück ein Konzept, das uns hier hilft, Karten unabhängig zu werden, das ist der sogenannte

Tangentialraum. Wir werden in diesem Video uns mit einer Möglichkeit beschäftigen, solch einen

Tangentialraum einzuführen und wir fangen mit der anschaulichen Variante an, den sogenannten

geometrischen Tangentialraum, der ist mathematisch ein bisschen komplizierter anzuhaben, aber die

Intuition dahinter ist sehr klar, ist es ein sehr anschauliches Prinzip und man kann sich darunter

vorstellen, dass das Ganze eine Art Linearisierung der Mannigfaltigkeit an einem Punkt ist und das

Prinzip der Linearisierung haben Sie auch schon kennengelernt aus dem Teil der Vorlesung zu

dynamischen Systemen, da haben wir Funktionen linearisiert, um etwas lokal um einen Punkt herum

aussagen zu können, falls das Verhalten nicht linear war, da konnten wir wenigstens approximately

Aussagen treffen. Um das Ganze so ein bisschen zu motivieren, fangen wir mit einem kleinen

Beispiel an, das erklärt, wie so ein Tangentialraum aussehen kann, das ist sozusagen das zugrunde

liegende Bild, das Sie immer im Kopf haben sollten, das heißt, wir fangen mit folgendem

Beispiel an, wir betrachten zunächst die Mannigfaltigkeit, die den Einheitskreis darstellt,

also wir betrachten den Einheitskreis, das heißt unsere Mannigfaltigkeit M ist gewählt als die S1

und wir wollen uns einen Punkt darauf nehmen und da werden wir den Punkt 0 1 das x Koordinat ist

in dem 1 0 x Koordinate ist 1 y Koordinate 0 wie sieht das ganze aus mal wir auch mal hier